Закон гука в дифференциальной и интегральной форме

Закон гука в дифференциальной и интегральной форме

Закон гука в дифференциальной и интегральной форме

Применяя принцип суперпозиции, можно записать ε1 = ε11 + ε12 + ε13. где ε11 – относительное удлинение в направлении σ1, вызванное действием только σ1 (рис. 3.13,б); ε12 – удлинение в том же направлении, вызванное действием только σ2 (рис. 3.13,в); ε13 – удлинение в том же направлении, вызванное действием только σ3 (рис.

3.13,г). Поскольку направление σ1 для самого напряжения σ1 является продольным, а для напряжений σ2 и σ3 – поперечным, то по формулам (3.24) находим

,

,

.

Сложив эти величины, будем иметь

. а б в г Рис.3.13 Аналогично получим выражения и для двух других главных удлинений.

Сила упругости. Закон Гука

В системе СИ жесткость измеряется в ньютонах на метр (Н/м).

Коэффициент жесткости зависит от материала, формы и размеров тела. В физике закон Гука для деформации растяжения или сжатия принято записывать в другой форме. Отношение ε = x / l называется относительной деформацией, а отношение σ = F / S = –Fупр / S, где S – площадь поперечного сечения деформированного тела, называется напряжением.

Тогда закон Гука можно сформулировать так: относительная деформация ε пропорциональна напряжению σ: Коэффициент E в этой формуле называется модулем Юнга.

Модуль Юнга зависит только от свойств материала и не зависит от размеров и формы тела. Модуль Юнга различных материалов меняется в широких пределах.

Обобщенный закон Гука

4.15 напряжениями s1, s2, s3. Поскольку является для напряжения s1 продольной деформацией, а , — поперечными деформациями, то из формул (4.12) следует: , , .

(4.13) Складывая эти величины, получим .

Аналогично получаются выражения для двух других главных удлинений. В результате (4.14) . Эти формулы носят название обобщенного закона Гука для изотропного тела, т.

е. определяют зависимость между линейными деформациями и главными напряжениями в общем случае объемного напряженного состояния. Из этих формул легко получить закон Гука для плоского напряженного состояния.

Сила упругости: Закон Гука — формула

Если деформируемая среда (материал, который сжимают или растягивают) позволяет, а сжатие невелико, есть смысл рассматривать этот процесс как движение одних точек тела относительно других.

А раз вопрос касается сугубо , значит, заниматься этим будет механика.

В 1660 году известный английский ученый Роберт Гук открыл явление, при помощи которого можно механически описать процесс деформаций.

Для того чтобы понимать при каких условиях выполняется закон Гука, ограничимся двумя параметрами:

Есть такие среды (например, газы, жидкости, особо вязкие жидкости, близкие к твердым состояниям или, наоборот, очень текучие жидкости) для которых описать процесс механически никак не получится. И наоборот, существуют такие среды, в которых при достаточно больших силах механика перестает «срабатывать».

Важно! На вопрос: «При каких условиях выполняется закон Гука?», можно дать определенный ответ: «При малых деформациях».

Учебник. Сила упругости. Закон Гука

В физике закон Гука для деформации растяжения или сжатия принято записывать в другой форме.

Модуль Юнга зависит только от свойств материала и не зависит от размеров и формы тела.

Модуль Юнга различных материалов меняется в широких пределах. Для стали, например, E ≈ 2∙1011 Н/м2, а для резины E ≈ 2∙106 Н/м2, т. е. на пять порядков меньше. Закон Гука может быть обобщен и на случай более сложных деформаций.

Например, при деформации изгиба упругая сила пропорциональна прогибу стержня, концы которого лежат на двух опорах (рис. 1.12.2).

Деформация изгиба.

Дифференциальный закон гука

Площадь поперечного сечения стержня

. Равнодействующая внешних сил

совпадает с осью стержня. Такой вид деформации стержня называется чистым центральным растяжением (ЧЦР).

Рис. 2.1 Чистое центральное растяжение (ЧЦР).

Если внешние силы распределены по торцам неравномерно (рис.

2.2), но приводятся к равнодействующей сливающейся с осью стержня, то такой вид деформации стержня называется центральным растяжением (ЦР).

Рис. 2.2 Центральное растяжение (ЦР).

При ЧЦР (ЦС) в поперечных сечениях стержня возникает только продольная сила

.

Условимся: продольную силу считать положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения, и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е.

направлена к сечению.

9.8.

Формулы обобщенного закона Гука

Более важным является другое обстоятельство, когда рассчитывается на прочность конструкция, то часто трудно определить, какому напряжению присвоить индекс один, два, три, т.к.

нагрузки меняются по различным законам в зависимости от условий работы.

В этом случае гипотеза Мизеса не обнаруживает разности в подсчете

при перестановке местами индексов 1, 2, 3, что освобождает нас от необходимости определять, какое из напряжений является наибольшим, а какое — наименьшим.

Итак, мы рассмотрели два критерия пластичности, базирующихся на правдоподобных гипотезах и согласующихся с экспериментом. Но к данному вопросу можно подойти и с иных позиций — с позиций упрощенной систематизации экспериментальных данных.

Источник: http://pallada-sar.ru/zakon-guka-v-differencialnoj-i-integralnoj-forme-46046/

Лекции и примеры решения задач механики

Законом Гука называют базовую зависимость в механике, устанавливающую взаимосвязь между усилиями и соответствующими им упругими деформациями.

Свои наблюдения он оформил в виде закона: «Какова сила, таково и удлинение».

Современная формулировка закона существенно отличается от оригинала и зависит от дисциплины,

9.8. Формулы обобщенного закона Гука

Гипотеза пластичности Хубера—Мизеса Согласно этой гипотезе переход тела из упругого состояния в пластическое происходит, когда

достигнет некоторого постоянного значения.

Рис.10.5 Откуда В настоящее время эти две гипотезы часто применяются при расчетах на прочность деталей из пластичных материалов.

Возникает вопрос: почему гипотеза Мизеса, приводящая к более сложному выражению для

, принимается наряду с гипотезой Сен—Венана. По мнению многих авторов, она более точно отражает условие перехода в пластическое состояние. Но дело не только в этом, т.к.

в процентном отношении разница не столь уже и велика. Она достигает максимума при чистом сдвиге, когда

,

закон Гука

Литература.

Связь между какими явлениями или величинами выражает закон: Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение. Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению.

Удлинением называется характеристика деформативности материала, оцениваемая по увеличению длины образца из этого материала при растяжении. Си́ла упру́гости — сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации. Напряжение — это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий.

Деформа́ция — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Эти понятия связаны так называемым коэффициентом жесткости.

Он зависит от упругих свойств материала и размеров тела.

Формулировка закона: Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости,

Учебник.

Сила упругости. Закон Гука

При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Эта сила возникает вследствие электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества.

Её называют силой упругости. Простейшим видом деформации являются деформации растяжения и сжатия (рис. 1.12.1).

Деформация растяжения (x > 0) и сжатия (x < 0). внешняя сила f →="–" f → упр .>При малых деформациях (|x| < l) сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при> Fx = Fупр = –kx.

Это соотношение выражает экспериментально установленный закон Гука.

Коэффициент k называется жёсткостью тела. В системе СИ жёсткость измеряется в ньютонах на метр (Н/м).

Источник: http://advokat-credit.ru/zakon-guka-v-differencialnoj-i-integralnoj-forme-30235/

Юр-власть
Добавить комментарий